Original article: http://www.efgh.com/math/birthday.htm

LOGO

An Paradox Breithlá

Philip J. Erdelsky

4 Iúil, 2001

Is é an fhadhb is fearr leat i gcúrsaí dóchúlachta agus staitisticí tosaigh ná an Fadhb Breithlá: Cad é an dóchúlacht go bhfuil an bhreithlá céanna ar a laghad dhá duine N a roghnaíodh go randamach? (An mhí céanna agus an lá céanna, ach ní gá an bhliain chéanna.)

An dara cuid den fhadhb: Cé chomh mór is gá N a bheith ionas go mbeidh an dóchúlacht níos mó ná 50 faoin gcéad? Is é 23 an freagra, rud a bhuaileann an chuid is mó daoine go míréasúnach beag. Ar an gcúis seo, is minic a dtugtar an Breithiúnas Paradox ar an bhfadhb. Molann roinnt gealltaí gealltóireachta, ar airgead fiú, go bhfuil lá breithe dúbailte i measc aon ghrúpa de 23 duine nó níos mó. Is dócha go bhfuil roinnt suiceanna neamhfhiosacha ann a ghlacfaidh leis an geall.

Déantar an fhadhb a shimpliú de ghnáth trí dhá rud a ghlacadh:

1.     Níor rugadh aon duine ar 29 Feabhra.

2.     Déantar dáileadh breithe an phobail a dháileadh go cothrom thar an 365 lá eile den bhliain eile.

Ceann de na chéad rudaí le fógra faoin fhadhb seo ná go bhfuil sé i bhfad níos éasca an fhadhb comhlántach a réiteach: Cad é an dóchúlacht go bhfuil gach lá breithe difriúil ag daoine roghnaithe go randamach? Is féidir linn seo a scríobh mar fheidhm athchúrsach:

double_birthdays (int n)
 {
 tuairisceán n == 1? 1.0: different_birthdays (n-1) * (365.0- (n-1)) / 365.0;
 }

Ar ndóigh, le haghaidh N = 1 is é an dóchúlacht 1. I gcás N> 1, is é an dóchúlacht go bhfuil dhá thionchar ann:

1.     Go bhfuil gach lá breithe difriúla ag an gcéad duine N-1.

2.     Go bhfuil difríocht lá breithe ag an duine ó aon cheann den chéad N-1.

Téann clár chun na dóchúlachtaí a thaispeáint mar seo:

Príomhní neamhní (neamhní)
 {
 int n;
 le haghaidh (n = 1; n <= 365; n ++)
 printf ("% 3d:% e \ n", n, 1.0-different_birthdays (n));
 }

Is é an toradh atá mar seo:

1: 0.000000e + 00
 2: 2.739726e-03
 3: 8.204166e-03
 4: 1.635591e-02
 5: 2.713557e-02
 ***
 20: 4.114384e-01
 21: 4.436883e-01
 22: 4.756953e-01
 23: 5.072972e-01
 24: 5.383443e-01
 25: 5.686997e-01
 ***

An dóchúlacht go bhfuil arduithe lá breithe os cionn 0.5 duine ar a laghad de dhaoine N nuair a bhíonn N = 23.

MÓ CAD FAOI BHLIAIN LEAP BLIAIN?

Is féidir an fhadhb bhunaidh a réiteach le riail sleamhnáin, rud a rinne mé go díreach nuair a chuala mé go leor é, blianta fada ó shin.

Má chuireann muid 29 Feabhra leis an meascán, faigheann sé i bhfad níos casta. Sa chás seo, déanfaimid roinnt boinn tuisceana breise:

1.     Rugtar líon comhionann daoine ar laethanta seachas 29 Feabhra.

2.     Is é an líon daoine a rugadh ar 29 Feabhra ná ceathrú cuid den líon daoine a rugadh ar aon lá eile.

Dá réir sin is é 0.25 / 365.25 an dóchúlacht gur rugadh duine roghnaithe go randamach ar 29 Feabhra agus is é an dóchúlacht gur rugadh duine roghnaithe go randamach ar lá sonraithe amháin ná 1 / 365.25.

Is é an dóchúlacht go n-éireoidh le daoine N, a d'fhéadfadh a bheith ar cheann acu a rugadh ar 29 Feabhra, laethanta breithe difriúla dhá dóchúlacht:

1.     Go n-rugadh na daoine N ar N lá éagsúla seachas 29 Feabhra.

2.     Rugadh na daoine N ar lá éagsúla N, agus duine amháin a rugadh ar 29 Feabhra san áireamh.

Cuireann na dóchúlachtaí leis mar go bhfuil an dá chás eisiach.

Anois is féidir gach dóchúlacht a chur in iúl go cúrsach:

dúbailte different_birthdays_excluding_Feb_29 (int n)
 {
 tuairisceán n == 1? 365.0 / 365.25:
 different_birthdays_excluding_Feb_29 (n-1) * (365.0- (n-1)) / 365.25;
 }
 
 dúbailte different_birthdays_including_Feb_29 (int n)
 {
 tuairisceán n == 1? 0.25 / 365.25:
 different_birthdays_including_Feb_29 (n-1) * (365.0- (n-2)) / 365.25 +
 different_birthdays_excluding_Feb_29 (n-1) * 0.25 / 365.25;
 }

Téann clár chun na dóchúlachtaí a thaispeáint mar seo:

Príomhní neamhní (neamhní)
 {
 int n;
 le haghaidh (n = 1; n <= 366; n ++)
 printf ("% 3d:% e \ n", n, 1.0-different_birthdays_excluding_Feb_29 (n) -
 different_birthdays_including_Feb_29 (n));
 }

Is é an toradh atá mar seo:

1: -8.348357e-18
 2: 2.736445e-03
 3: 8.194354e-03
 4: 1.633640e-02
 5: 2.710333e-02
 ***
 20: 4.110536e-01
 21: 4.432853e-01
 22: 4.752764e-01
 23: 5.068650e-01
 24: 5.379013e-01
 25: 5.682487e-01
 ***

De réir mar a bhíothas ag súil leis, tá na dóchúlachtaí beagán níos ísle, toisc go bhfuil dóchúlacht níos ísle ann le comóntaí lá breithe nuair a bhíonn breitheanna breithe ann. Ach is é an líon is lú le dóchúlacht níos mó ná 0.5 fós 23.

Ar ndóigh, féadfaidh purist matamaitice a mhaíomh nach dtéann blianta léim i gcónaí gach ceithre bliana, agus mar sin ní mór na modhanna a mhodhnú tuilleadh. Mar sin féin, ba é an bhliain dhá bhliain déag a bhí ina bhliain leapach ná 1900, agus is é an chéad cheann eile ná 2100. Is é an líon daoine atá ina gcónaí anois a rugadh i 1900 chomh beag is dóigh liom go bhfuil ár gcomhfhogasú bailí chun críocha praiticiúla go léir. Ach tá fáilte roimh na modhnuithe riachtanacha a dhéanamh más mian leat.

Tá impleachtaí ag an gCréithiúnas Breithlá thar shaol gealltóireachta na bparóige. Is é teicníocht chaighdeánach i stóráil sonraí gach uimhir a shannadh ar a dtugtar cód hash. Ansin stóráiltear an ítim i mbosca a fhreagraíonn dá chód hash. Luasann sé seo ar aisghabháil mar ní mór ach aon bhosca amháin a chuardach. Taispeánann an Breithiúnas Paradox go bhfuil an dóchúlacht go mbeidh dhá ítim nó níos mó suas sa bhosca céanna ard fiú má tá líon na n-ítimí i bhfad níos lú ná líon na mboscaí. Mar sin, tá gá le láimhseáil éifeachtach na mboscaí ina bhfuil dhá n-ítim nó níos mó i ngach cás.