Forma de Planet Earth

Profesorul Ghys Etienne a de Unite Mathematiques Pures Appliquees et de l'ENS de Lyon a dat o prezentare, in octombrie 2006 la o audienta de geologi privind abordarile istorice matematic pentru a determina forma teoretice ale Pamantului. Profesorul Ghys si cu mine au colaborat pentru a produce grafica pentru aceasta prezentare. Pagina de mai jos este un rezultat al acestei colaborari.

1. Introducere

Forma a Pamantului a intrigat oamenii de stiinta a lungul istoriei. Acceptarea generala a faptului ca Pamantul e rotund a aparut in secolul I d. Hr., desi Pitagora a avut postulat deja un Pamant sferic 600 ani mai devreme. Conceptul Pamantul plat reaparut acum si, din nou in Evul Mediu, uneori pe motive religioase, dar este sigur sa spun ca omenirea a cunoscut de 2000 de ani ca traim pe o sfera.

Stim, de asemenea, ca nu este o sfera perfecta: diametrul de la pol la pol este mai mica decat diametrul la ecuator. Diferenta este mica: diametrul ecuatorial este de aproximativ 12,700 km, si pol la pol diametru este de numai aproximativ 40 km mai scurt.

Motivul pentru aceasta diferenta este de rotatie a Pamantului, care creeaza o forta centrifuga perpendicular pe axa de rotatie. In cazul in care Pamantul a constat din materiale solide, atunci nu ar fi nici un efect asupra formei. Sa presupunem ca Pamantul a fost ca o minge solida de biliard. De rotatie ar pune o presiune asupra materialului, dar nu ar fi nici o deformare. Pamantul nostru are un interior topit, le-a placilor tectonice pe coaja subtire care poate muta incet, si asa nu este cu siguranta o minge solida. Pamantul este "vascos" si acest lucru pentru conturile usoara aplatizare la poli. Din cauza rotatiei, Pamantul are un moment cinetic, L. Se poate uita la Pamant ca un imens volant. Energia stocata intr-o masa de rotatie este L *ω / 2, in cazul in care ω este viteza de rotatie a 2ω radiani pe zi. Valoarea de L este 5.86.10 33 kJoule.sec. Pentru a pune acest lucru in perspectiva: daca am putea valorifica energia de rotatie a Pamantului, atunci ar lua 5.10 8 ani pentru a utiliza toate in sus. (La utilizarea actuala de energie la nivel mondial de 10.000 milioane de tone de echivalent petrol pe an). Inconvenient este faptul ca de 500 milioane de ani, Pamantul ar sta in continuare! Vom discuta ce se intampla in cazul in care valoarea de modificari L, asa ca tine cont de scara colosala de energie asociata cu rotatia Pamantului.

Forma teoretica a Pamantului a fost studiat de catre matematicieni pe parcursul ultimelor 4 secole (desi interesul sa diminuat in ultimii 40 de ani sau asa). Lista persoanelor care au contribuit la acest subiect suna ca o sala de all-time de faima de matematicieni: Newton (1689), Huygens (1690), Cassini (1701), Maupertuis (1732), Clairaut (1733), Euler (1740 ), Maclaurin (1742), D'Alembert (1756), Lagrange (1759), Laplace (1772), Legendre (1784), Monge (1787), Poisson (1811), Gauss (1813), Cauchy (1815), Jacobi (1834), Dirichlet (1857), Dedekind (1860), Riemann (1860), Poincare (1885), Darwin (1906, fiul lui Charles Darwin), jeans (1917), Cartan (1924), Chandrasekhar (1960), si altele.

Acesta a fost Isaac Newton este primul care a sustinut ca Pamantul nu este sferic, ci "oval". Newton imaginat doua puturi merge in jos la centrul Pamantului: unul forate de la Polul Nord, si unul forate de la ecuator, ambele umplute cu apa. Apa in bine ecuatorial este supusa forta centrifuga, si apa in bine Polar nu este. Pentru cele doua coloane de apa sa fie in echilibru, rezulta ca bine ecuatorial trebuie sa fie mai..

In cele ce urmeaza vom discuta despre formele teoretice Pamantul ar putea avea la un moment unghiular mai mare, prin descoperirile piatra de hotar de Colin Maclaurin, Carl Jacobi, si Henri Poincare.

Daca faceti clic pe imaginea de mai sus va aduce la un film de pe Pamant cum stim cu totii ca, doar ea se transforma aproximativ 800 de ori mai repede decat o face in realitate (in caz contrar, filmul ar fi trebuit sa dureze 24 de ore pentru o tura completa). In toate filmele de pe aceasta pagina, viteza de rotatie este singurul element care a fost redusa. Dimensiunile au fost calculate cu formule exacta.

2. McLaurin lui plat Earth.

Infiintarea unei model matematic al Pamantului, tinand seama de toate proprietatile sale, este extrem de complicat: Pamantul are un interior non-omogene, exista fluxuri interne ale materialului topit, exista o crusta relativ subtire, etc Un model matematic este fezabila numai in cazul in care intrebarea la indemana este simplificat. Studiind o masa a unui fluid ideal (adica cu zero viscozitate), plutesc in vid de spatiu gol, si fac obiectul unei rotatie, randamentele rezultate calculabil care ar trebui sa ofere cel putin o indicatie rezonabila privind ce se va intampla in realitate. In 1742, scotian Colin Maclaurin publicat "un tratat despre fluctuatii", o piatra de hotar in istoria de calcul. Printre articolele pentru care el este mai bine kownn (eg.the Maclaurin serie), cartea contine, de asemenea, un studiu privind forma organismelor de rotatie.

Maclaurin arata ca, pe masura ce creste momentului unghiular, Pamantul va primi tot mai plat. Forma este un elipsoid cu doua axe egale, rotatie in jurul axei scurt. Elipsoid devine un disc cu o raza tot mai mare. Viteza de rotatie creste in primul rand, dar viteza atinge un maxim si apoi va scadea. Deoarece raza discului continua sa creasca si tinde spre infinit, viteza de rotatie va tinde catre zero: L poate fi exprimat ca L = ω.I, unde I este momentul de inertie. Pentru o masa constanta, in momentul de inertie al oricarui obiect se va mari si mai mari ca obiect ia o forma in cazul in care o dimensiune radiala devine mai mare si mai mare. Prin urmare, ω viteza de rotatie trebuie sa mearga la zero, pentru un L finit si o raza de ce mai mare.

Imaginile de mai jos arata etape consecutive ale formei de pe Pamant ca creste momentului cinetic. Numerele de pe imagini pentru viteza de rotatie si a momentului cinetic sunt valori adimensionale, si, astfel, nu reprezinta viteza de rotatie reala in radiani pe secunda sau momentului cinetic in Joule.sec. Unul ar trebui sa se uite la valorile relative intre etape. Un punct de referinta este ca viteza de rotatie reala a Pamantului corespunde unei? valoare de aproximativ 0.06, si ca momentului cinetic efectiv corespunde unei L valoare de aproximativ 0.024.

Film (4 Mb)

Viteza maxima de rotatie este atins atunci cand raza este de numai aproximativ 20% mai mare decat raza actuale. Aceasta viteza este apoi de aproximativ 11 ori mai mare decat viteza actuala, astfel incat zilele noastre la acest moment va dura 2 ore si 8 minute! Dincolo de acest punct, zilele vor primi mai mult din nou, ca viteza scade. Cu toate acestea, nu putem observa ca acum Pamantul devine plat, si in functie de unde suntem pe glob, soarele nu poate stabili sau nu ridica..

In situatia din ultima imagine din dreapta de mai sus, energia cinetica a Pamantului este de 200 de ori mai mare decat inprezent este. Pamantul este un disc cu un diametru de 50.000 km, de aproximativ patru ori mai mare decat diametrul ecuatorial curente, si un polonez la Polul distanta de numai aproximativ 800 km.

3. Jacobi lui elipsoidal Earth.

In 1834, Carl Jacobi devenit interesat de problema. Prin cunoasterea lui profunda a functiilor eliptice, el a fost in masura sa dovedeasca ca nu poate fi configuratii stabile care sunt ellipsoids, la fel ca formele Maclaurin, dar ca acestea pot tranzitiei spre o forma elipsoid cu 3 axe inegale. Imagini si filme de mai jos arata trecerea la "Jacobi ellipsoids". Retineti ca, la fel ca Maclaurin Pamantului aproape plat, viteza de rotatie scade ca excentricitate a creste elipsoidului. Vom discuta despre fenomenul de tranzitie intre formele Maclaurin si Jacobi in sectiunea urmatoare.

Film (4 Mb)

4. Furci in drum: bifurcations.

Am vazut ca forma teoretica a modificarilor Pamantului la un elipsoid ca unghiulara momentului formulele matematice increases.The care descriu aceasta schimbare sunt destul de complicate. Adevarul este ca, ca de un anumit punct, acestea duc la mai mult de o solutie. Acest lucru este ilustrat de mai jos. In imaginea din stanga, mingea se afla intr-o pozitie stabila in partea de jos a curbei. In imaginea din dreapta, curba-a schimbat forma, si exista acum doua pozitii stabile, si unul instabile unul.

Film

Mai jos sunt doua versiuni 3D ale acestei situatii: in imaginea din stanga (faceti clic pe ea pentru un film), suprafata are o vale singur pe partea din spate, dar are doua vai simetrice ca ne mutam la partea din fata. Dincolo de punctul in cazul in care suprafata are un punct de inflexiune, bilele de pe suprafata au doua pozitii stabile si una instabila unul. Aceasta este furculita in drum: o bifurcare. In imaginea din dreapta (faceti clic pe ea pentru un film), mingea este in repaus in partea de jos a ceasca. Filmul arata cum suprafata evolueaza intr-o "palarie mexican", care are o pozitie instabila si un inel de pozitii stabile in jurul valorii de ea.

Revenind la modelul nostru de pe Pamant ca o masa de rotatie a unui fluid ideal cu L momentul unghiular, "de suprafata" este graficul de o functie U reprezinta interactiunea dintre atractia gravitationala si centrifugal "repulsie" ca energia totala a sistemul. In cazul in care derivata a doua a acestei functii este zero, avem un punct de inflexiune, iar calea de urmat de forma noastre "Pamant" se desparte in sus: se poate urma traseul Maclaurin sau traseul Jacobi.

5. Elipsoid geografie

Cum ar putea o face de pozitionare globala privind o lume elipsoidal cu trei axe inegale? In mod evident, latitudine si longitudine, asa cum o stim asupra lumii noastre aproape sferice, nu ar functiona.

In urma calea ellipsoids posibil Jacobi, bifurcations mai sunt posibile, dupa cum vom vedea in sectiunea urmatoare. Acest lucru necesita calcularea derivat al doilea U functia noastra in vecinatatea ellipsoids. Acest lucru conduce la a face analiza armonica pe elipsoid, analog armonici sferice pe sfera. Vom intalni atunci functiile de matematicienilor Lame: (a <b <c) Aceasta formula descrie un elipsoid pentru? <a, un hyperboloid o prelata pentru un <? <b si un hyperboloid doua prelata pentru b <? <c. Am obtine o familie de suprafete pentru un un anumit, b si c, care sunt toate reciproc perpendiculare. Imaginea de pe dreapta (faceti clic pe ea pentru un film) arata modul in care cele doua familii de hyperboloids ar forma o latitudine / longitudine grila privind o lume eliptic. (Am dispus britanic, lasand la meridianul zero, care trece prin Greenwich.)

6. Poincare de pere.

In 1885, marele Henri Poincare a publicat un articol in Acta Mathematica intitulata "Sur l'Equilibre d'une in masa fluide animee d'un mouvement de rotatie" ("pe de echilibru a unui fluid in masa de rotatie"). Aici, el a descris modul in care calea de a ellipsoids Jacobi intampina mai multe puncte de bifurcatie. (Ilustrata in imaginea de mai jos in stanga) Cu toate acestea, forma de masa de lichid dupa care bifurcare nu este un elipsoid mai. Poincare a numit-o piriforme (in forma de para). El a facut un desen a ceea ce el a crezut forma ar putea fi (mai jos, pe dreapta), care, dupa cum se dovedeste, a fost gresit. Poincare a fost un matematician genial, dar a avut probleme de acest site desene precise, probabil din cauza vederii lui rele.

Adevarata imagine care rezulta din formulele lui este indicat pe dreapta. Aceasta este forma dupa bifurcatia prima pe calea Jacobi. Pentru lipsa unui nume mai bun, si in onoarea Poincare, numele Piriform a persistat. Filmul prezinta tranzitie completa, pornind de la forma actuala a Pamantului. Pe masura ce creste momentului unghiular, forma devine un elipsoid cu doua axe egale: elipsoidul Maclaurin. Se ajunge apoi un punct de bifurcare si se transforma intr-un elipsoid Jacobi. La punctul de bifurcatie prima pe calea Jacobi, ajungem lui Poincare "pere". Poincare, de asemenea, a venit cu ideea ca aceasta forma ar putea explica formarea de planete. Imaginati-va ca o parte de la sfarsitul a subliniat "pere" (in cazul in care fortele centrifuge sunt cea mai mare) devine off ciupite, si este trimis pe orbita. Cu toate acestea, acest lucru este un mecanism care nu a fost niciodata confirmate de alte studii. Film (1,5 Mb)

7. Inchiderea observatii.

Hartie Poincare a mai mult de o suta de ani in urma a fost ultimul reper major in studiul de acest subiect. Chandrasekhar a scris cu privire la munca lui Poincare: "panorama mare mentale, care a fost astfel creat a fost atat de imbatatoare ca aceste urmatoarele Poincare nu au fost de a recupera de la exercitarea ei... si in acest moment obiectul liniste a intrat in coma."

Pe de alta parte, se pare ca matematica bune rase matematica noi bune si stiintei in general: Principiul de bifurcare a devenit un concept important in stiinta. Teoriei catastrofei de exemplu, un pionier prin R. Thom in anii 1960, bifurcations studii intre echilibre diferite, si a fost aplicat la o varietate larga de domenii: de la studiul unui robinet care picura la dinamica de rasturnare a navelor.

Nu a fost nici o lucrare recent cu privire la forma teoretica de un Pamant care are o mai mare impuls unghiular. Pe de alta parte, studiul a forma actuala de pe Pamant, Geodezie, este o ramura bine practicata de geologie.

Cu toate acestea, ar fi o idee buna sa incercati si de a produce o reala Poincare forma de para. Daca NASA este pe punctul de idei pentru locul de munca de testare in timpul misiunilor spatiale, atunci acest bun sa fie un candidat bun.

8. De referinta si de lectura in continuare.

Vincent Deparis Quelle est la forme de la Terre: placa, oblongue ou aplatie stalpi aux? O prezentare istorica a evolutiei de idei in jurul valorii de forma pamantului (in franceza).

O introducere in Geodezie.

Isaac Todhunter: O istorie a teoriilor matematice de atractie si de cifra de pamant, publicat in 1873, deci inainte de inceperea lucrarilor de Poincare.. Disponibil ca o carte online la biblioteca on-line Gallica